Metodología I

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.pull-left[
# Metodología I
## **.yellow[Juan Carlos Castillo]**
## Magister Ciencias Sociales FACSO - UChile
## 1er Sem 2023 
## [.green[metod1-mcs.netlify.com]](https://metod1-mcs.netlify.com)
]

.pull-right[
.right[
 
## .yellow[Sesión 6: Índices y análisis factorial]
![:scale 70%](../../files/img/eval-hires.png)

]

]
---

---
class: inverse, bottom, right, animated, slideInRight

# Resumen clase anterior

---
# Asociación: covarianza / correlación (II)

`\begin{align*}
Covarianza = cov(x,y) &= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {n-1}\\
\\
Correlación=r &= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {(n-1)\sigma_x \sigma_y }\\ \\
alternativamente=r &= \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}}
\end{align*}`

---
# Correlación

- medida de asociación lineal entre variables

- estandarizada

- varía entre -1 y +1:

- positiva: a medida que aumenta una, aumenta la otra

-     negativa: a medida que aumenta una, disminuye la otra

- cero: no hay evidencia de asociación lineal entre las variables

---
# Nube de puntos (scatterplot) y correlación

---
.pull-left-narrow[
# Cuarteto de Anscombe

Para todos: r=0.816
]

![](06-clase6_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png)
]

---
class: inverse
## Resumen

- asociación entre variables y correlación

- correlación y causalidad

- linealidad

- significación y tamaño de efecto

- coeficientes alternativos

---
class: inverse,right

# **.red[Contenidos]**

### 1. Índices
### 2. Análisis factorial

---
class: inverse,right

# **.red[Contenidos]**

### 1. .yellow[Índices]
### 2. Análisis factorial

---
class: middle center

# ¿Por qué usar baterías?

---
class: middle center

---
class: middle

.pull-left-narrow[
# Preguntas y error de medición
]
.pull-right-wide[
.content-box-yellow[
-   Para medir hechos observables simples usualmente se utiliza **una
    pregunta** (ej: edad)

-   Fenómenos complejos se miden en general con más de una pregunta, con
    el objetivo de dar mejor cuenta del atributo (i.e. minimizar error
    de medición)
]]

---
# Baterías de indicadores múltiples

- en general las encuestas suelen incluir varias preguntas respecto de un mismo tema -> .red[baterías de indicadores múltiples]

- cubren distintos aspectos de un mismo fenómeno complejo que no se agota en solo un indicador -> minimiza .red[error de medición]

- .red[problema]: ¿cómo se analizan indicadores que están relacionados?¿cómo se muestran los resultados?

---
# Análisis de indicadores en baterías

.pull-left-narrow[
1. .red[Univariado]: se sugiere presentar análisis descriptivos que contengan todos los indicadores para poder comparar frecuencias
]

.pull-right-wide[
.center[
![:scale 100%](../../files/img/slides/likert-plot.png)
.small[(likert plot, `sjPlot`)]
]
]

---
# Análisis de indicadores en baterías

2\. .red[Bivariado]: tablas/gráficos de correlaciones

(`corrplot`)
]

]
]

---
# Análisis de indicadores en baterías

- Se podría asumir un concepto o .red[dimensión subyacente] a la batería de items

- Para facilitar el avance en el análisis (por ejemplo, relacionar ese concepto subyacente con otras variables), muchas veces se reduce la batería a algún .red[tipo de índice (sumativo/promedio)]

- ¿Podemos asegurar que los items están realmente .red[midiendo lo mismo]?

---
## ¿Miden lo mismo?

---
# Error total de encuesta
.center[
![:scale 60%](../../files/img/slides/ratswd-errors.png)
]

(Groves et al, 2010, en RATSWD WP 245, 2015)

---
class: middle

.pull-right-wide[
.content-box-red[
-   En este marco se asume que el **indicador es distinto del atributo**, y que la medición del atributo o variable latente conlleva error

-   Cuando la el atributo se mide con más de una pregunta, se puede
    intentar estimar la **variable latente** mediante índices o           técnicas de **análisis factorial**
]]

---
# Medición y error
.pull-left[

.pull-right[
- antes de agrupar indicadores en un índice hay que evaluar si los indicadores se encuentran relacionados

- -> si miden constructos similares
  - -> si la medición es .red[confiable]
]

---
class: inverse center

.content-box-red[
## .red[¿Cómo estimar el nivel de relación entre indicadores que miden un mismo constructo?]
]
--

### Distintas maneras, pero todas se basan en la técnica de la .red[correlación]

---
-   varianza
`$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} {n-1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(x_i - \bar{x})} {n-1}$$`

-   covarianza
`$$cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {n-1}$$`
- correlación

`$$r= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {(n-1)\sigma_x \sigma_y }$$`

---
class: bottom right

## .red[Correlaciones, baterías y dimensiones subyacentes]

---
# Matriz de correlaciones (1)

Matriz hipotética de indicadores que miden un mismo constructo

]

---
# Ej. Matriz de correlaciones (2)

Matriz hipotética de indicadores que miden constructos independientes
]

---
# Ej. Matriz de correlaciones (3)

Matriz hipotética de variables que miden dos constructos independientes]

---
class: inverse

## .yellow[Entonces:]

### 1. analizar la .red[matriz de correlaciones] antes de generar cualquiér técnica de reducción de información (ej: crear índice)

### 2. evaluar la posibilidad de generación algún tipo de .red[índice] que resuma la información
---
# Datos ejemplo

- batería atribuciones de pobreza, encuesta "Desigualdad, Justicia y Participación Política" - FONDECYT Iniciación 11121203 (2013-2015) [Social justice and citizenship participation](https://jc-castillo.com/project/fondecyt-iniciacion/)

---

```r
load("input/data/data-proc.Rdata")
descr(data)
```

|   |var     |label                              |    n|   NA.prc|     mean|       sd|range   |
|:--|:-------|:----------------------------------|----:|--------:|--------:|--------:|:-------|
|2  |falthab |Razones pobreza falta de habilidad | 1228| 1.365462| 2.630293| 1.254220|4 (1-5) |
|3  |malasue |Razones pobreza mala suerte        | 1227| 1.445783| 2.019560| 1.140079|4 (1-5) |
|1  |faltesf |Razones pobreza falta de esfuerzo  | 1238| 0.562249| 3.155897| 1.290758|4 (1-5) |
|4  |sisecon |Razones pobreza sistema económico  | 1218| 2.168675| 4.036946| 1.095047|4 (1-5) |
|5  |siseduc |Razones pobreza sistema educativo  | 1227| 1.445783| 4.088835| 1.088767|4 (1-5) |
]

---
## Gráfico barras frecuencia porcentual

```r
plot_stackfrq(data)
```

![](06-clase6_files/figure-html/unnamed-chunk-7-1.png)
---
## Ajustando dimensiones

````
```{r echo=TRUE, fig.height=5, fig.width=12}
plot_stackfrq(data)
```
````

---
## Ajustes adicionales

.medium[
````
```{r echo=TRUE, fig.height=5, fig.width=12}
plot_stackfrq(data, sort.frq = "last.desc", geom.colors = "OrRd") +
theme(legend.position="bottom")
```
````
]

---
## Matriz de correlaciones

```r
cormat <- cor(data)
cormat
```

```
##         falthab malasue faltesf sisecon siseduc
## falthab       1      NA      NA      NA      NA
## malasue      NA       1      NA      NA      NA
## faltesf      NA      NA       1      NA      NA
## sisecon      NA      NA      NA       1      NA
## siseduc      NA      NA      NA      NA       1
```

No resulta ya que requiere que no existan casos perdidos

]

---
## Matriz de correlaciones

Entonces:

```r
cormat <- cor(na.omit(data))
cormat
```

```
##              falthab    malasue     faltesf     sisecon      siseduc
## falthab  1.000000000 0.31793357  0.36246039 -0.02787884 -0.005893529
## malasue  0.317933565 1.00000000  0.16936872  0.02755708  0.013865045
## faltesf  0.362460395 0.16936872  1.00000000 -0.06579454 -0.020114542
## sisecon -0.027878843 0.02755708 -0.06579454  1.00000000  0.593625639
## siseduc -0.005893529 0.01386504 -0.02011454  0.59362564  1.000000000
```

---
## Matriz de correlaciones (Formato publicable)

.tiny[
<table style="border-collapse:collapse; border:none;">
<tr>
<th style="font-style:italic; font-weight:normal; border-top:double black; border-bottom:1px solid black; padding:0.2cm;">&nbsp;</th>
<th style="font-style:italic; font-weight:normal; border-top:double black; border-bottom:1px solid black; padding:0.2cm;">Razones pobreza falta de habilidad</th>
<th style="font-style:italic; font-weight:normal; border-top:double black; border-bottom:1px solid black; padding:0.2cm;">Razones pobreza mala suerte</th>
<th style="font-style:italic; font-weight:normal; border-top:double black; border-bottom:1px solid black; padding:0.2cm;">Razones pobreza falta de esfuerzo</th>
<th style="font-style:italic; font-weight:normal; border-top:double black; border-bottom:1px solid black; padding:0.2cm;">Razones pobreza sistema económico</th>
<th style="font-style:italic; font-weight:normal; border-top:double black; border-bottom:1px solid black; padding:0.2cm;">Razones pobreza sistema educativo</th>
</tr>
<tr>
<td style="font-style:italic;">Razones pobreza falta de habilidad</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">&nbsp;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">0.318***</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">0.362***</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">-0.028</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">-0.006</td>
</tr>
<tr>
<td style="font-style:italic;">Razones pobreza mala suerte</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">0.318***</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">&nbsp;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">0.169***</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">0.028</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">0.014</td>
</tr>
<tr>
<td style="font-style:italic;">Razones pobreza falta de esfuerzo</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">0.362***</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">0.169***</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">&nbsp;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">-0.066*</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">-0.020</td>
</tr>
<tr>
<td style="font-style:italic;">Razones pobreza sistema económico</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">-0.028</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">0.028</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">-0.066*</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">&nbsp;</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">0.594***</td>
</tr>
<tr>
<td style="font-style:italic;">Razones pobreza sistema educativo</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">-0.006</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">0.014</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center; color:#999999;">-0.020</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">0.594***</td>
<td style="padding:0.2cm; text-align:center;">&nbsp;</td>
</tr>
<tr>
<td colspan="6" style="border-bottom:double black; border-top:1px solid black; font-style:italic; font-size:0.9em; text-align:right;">Computed correlation used pearson-method with listwise-deletion.</td>
</tr>
 
</table>
]

---
## Matriz de correlaciones - gráfico

![](06-clase6_files/figure-html/unnamed-chunk-13-1.png)

---
## Matriz de correlaciones - gráfico ajustado

```r
  corrplot::corrplot(cormat,
    method = "color",
    addCoef.col = "#000390",
    type = "upper",
    tl.col = "black",
    col=colorRampPalette(c("white","#0068DC"))(8),
    bg = "white",
    na.label = "-")
```
]]

---
class: inverse bottom right

## .red[Hacia la construcción de un índice]

---
# Alpha de Cronbach

- índice de consistencia interna de una batería

- usualmente se reporta previo a a construcción de un índice

- varía entre 0 y 1; valores más cercanos a 1 indican mayor consistencia

- en general valores sobre 0.6 se consideran aceptables

- más información [aquí](https://rpubs.com/jboscomendoza/alfa_cronbach_r#:~:text=El%20Alfa%20de%20Cronbach%20nos,apuntando%E2%80%9D%20en%20la%20misma%20direcci%C3%B3n.)

---
# Alpha de Cronbach

- se genera un objeto (lo llamaremos alpha). Contiene bastante información, por ahora nos enfocaremos solo en el valor de alpha (`raw_alpha`)
]
.pull-right[
.small[

```r
alpha <-psych::alpha(data)
```

```
## Some items ( falthab malasue faltesf ) were negatively correlated with the total scale and 
## probably should be reversed.  
## To do this, run the function again with the 'check.keys=TRUE' option
```

```r
alpha$total$raw_alpha
```

```
## [1] 0.4363206
```
]
]
---
# Alpha de Cronbach

- puntaje 0.43, por lo tanto bajo los valores aceptables de consistencia interna

- esto ya se podía anticipar desde la matriz de correlaciones, que aparentemente mostraba dos dimensiones subyacentes a la batería

- además, se genera un mensaje de advertencia sobre posibles items codificados a la inversa (dada la correlación entre items de dimensiones distintas)

---
# Opciones

- construcción de índices basados en la información de la matriz de correlaciones

- análisis factorial

---
class: inverse bottom right
# .red[Construcción de índices]

---
# Índice promedio

- vamos a generar 2 índices a partir de esta batería: uno para atribución interna (falthab,faltesf,malasue) y otro para externa (sisecon,siseduc)

- tema valores perdidos:
  - para perder el mínimo de casos se recomienda realizar índice aún con casos que no hayan respondido algún item
  - ya que esto distorsionaría el puntaje si fuera sumado, se hace un índice promedio, especificando que se calcule aún con valores perdidos

---
# Índice de atribución interna (Promedio)

```r
data <- cbind(data, 
 "interna_prom"=rowMeans(data %>%
 dplyr::select(falthab,faltesf,malasue), 
 na.rm=TRUE))

data <- cbind(data, 
 "externa_prom"=rowMeans(data %>% 
 dplyr::select(sisecon,siseduc), 
 na.rm=TRUE))
```
---

```r
data %>% slice(11:15)
```

```
##   falthab malasue faltesf sisecon siseduc interna_prom externa_prom
## 1       3       3       4       4       4     3.333333          4.0
## 2       2       1       4       4       4     2.333333          4.0
## 3       3       4       3       5       4     3.333333          4.5
## 4       4       3       2      NA       3     3.000000          3.0
## 5       1       1       3       3       2     1.666667          2.5
```
]

---
class: inverse

## Resumen índices

- baterías y dimensiones subyacentes

- evaluación de consistencia interna (previo a construcción de índices)

- índices y .red[factores]

---
class: inverse,right

# **.red[Contenidos]**

### 1. Índices
### 2. .yellow[Análisis factorial]

---

.content-box-red[
-   La mayor parte de las variables en el mundo social no son
    directamente observables. Esto las hace constructos hipotéticos **latentes**
    
-   La medición de variables latentes se realiza a partir de indicadores observables, tales como los .red[ítems de una batería/ cuestionario]
]
]
---
class: middle

.pull-left-narrow[
#  Variables latentes (2)
]
.pull-right-wide[
.content-box-yellow[
-   Lo latente puede ser entendido como la .red[varianza compartida] por
    diferentes indicadores observados

-   La medición de variables latentes se encuentra asociada al .red[modelo de factor común] (Thurstone) y al análisis factorial
]
]
---
# Factor común

.pull-left[
-   Cada indicador en un set de medidas observadas es una .red[función lineal] de uno o más factores comunes y un factor único

-   Como referencia podemos usar la .red[teoría clásica de test] (CTT), que
    divide el puntaje de los indicadores entre puntaje verdadero y error
    ]

`$$\sigma^{2}_{x}=\sigma^{2}_{t} + \sigma^{2}_{e}$$`

Donde
- X= puntaje observado,
- T= puntaje verdadero, y
- E= error

]
---
# Modelo de factor común

.pull-left[
-   La existencia de un solo ítem por constructo no permite aislar puntaje verdadero del error

-   Si existen más ítems, el **análisis factorial** y
    distinguir entre **varianza común** (compartida con otros indicadores) y **varianza única** (o error)
]

Es un método que permite:
]

- establecer la contribución de cada indicador a la varianza común

- estimar posteriormente un índice (puntaje factorial) para cada factor, con mayor precisión que un promedio bruto
]]
---
# Análisis factorial

-   Un factor es una variable no observada o **latente** que da cuenta de las correlaciones entre indicadores 
    
- los indicadores están correlacionados porque comparten una causa común - concepto de **independencia condicional**

-   El o los factores darían cuenta (i.e. causarían) de la **covariación** entre una serie de medidas observadas (indicadores)

---
class: middle

.pull-right-wide[
 
- .red[Teórico]: relacionar datos con dimensiones latentes basadas en conceptos (validez de constructo)

-   .blue[Pragmático]: hacer sentido de un conjunto de datos, reducción de
    dimensiones y obtención de puntajes

-   .green[Metodológico]: aislar el error (varianza única) de la varianza común
]

---
# Alternativas en análisis factorial

-   .red[exploratorio (EFA)]: Permite explorar las dimensiones que subyacen a una escala

-   .red[confirmatorio (CFA)]: Permite confirmar las dimensiones que subyacen a una escala, aislando el error de medición en la estimación

---
# Análisis factorial exploratorio (EFA)

-   Forma de análisis factorial donde se estiman la o las variables
    latentes a un conjunto de indicadores, **sin una especificación previa** de la estructura factorial.

-   Preguntas a responder:

-   ¿Cuántos factores subyacen a un conjunto de indicadores?

-   ¿Cómo se relacionan los indicadores con los factores?

-   ¿Cómo es la calidad del modelo estimado?

---
.content-box-green[
# Características EFA
]

.center[
 
 ![](../../files/img/slides/figure1efa.jpg)
]]
.pull-right-wide[
- Basado en la matriz de correlaciones

- Modelo estandarizado (varianza factores=1)

-   Diferentes métodos de extracción de factores

-   Determinación del número y "calidad" de las dimensiones (continuas) subyacentes a una escala

]

---
# Ejemplo Brown 2006 (Chap.2)

![:scale 50%](../../files/img/slides/brown_cormat.png)
]

---
## Ejemplo Brown 2006 (Chap.2)

![](../../files/img/slides/brown_diag.png)

]

---
# Modelo estadístico

`$$y_{j}= \lambda_{j1} \eta_{1} + \lambda_{j2} \eta_{2} + ... + \lambda_{jm} \eta_{m} + \varepsilon_{j}$$`

_Donde_

-   `$\eta$` : factor

-   `$\lambda_{jm}$` : carga factorial que relaciona al
    indicador *j* con el factor `$\eta$`

-   `$\varepsilon_{j}$` : varianza que es única al indicador
    `$y_{j}$`

---
# Aplicado al ejemplo de Brown 2006:

Reproduccion de matriz de correlaciones a patir de los parámetros del
modelo. Ejemplo Brown 2006 cap. 2:

-   VAR(D1)= `$\sigma_{11}=\lambda_{11}^{2}\psi_{11} + \varepsilon_{1}=.83^{2}(1) + .31 = 1.00$`

-   COV(D1,D2)= `$\sigma_{21}=\lambda_{11}\psi_{11}\lambda_{21}=(.83)(1)(.84) =.70$`

---

.pull-right-wide[
-   **Factores**: variables latentes que están a la base de las
    correlaciones entre los indicadores

-   **Cargas factoriales**: medida estandarizada de asociación (correlación) entre el indicador y la variable latente

-   **Comunalidad**: proporción del indicador que se asocia a factor(es) comun(es)
]
---
class: middle

-   **Eigenvalues**: medida de proporción de la varianza total
    correspondiente a cada uno de los factor (SS loadings)

-   **Proporción de varianza** explicada por el factor = eigenvalue /
    número de indicadores
    ]

---
class: middle

-   Extraccion de factores

-   Decisión sobre número de factores

-   Rotación

-   Interpretación y reporte

-   Obtención de puntajes factoriales
]
---

---
# Supuestos a evaluar

-   Nivel de medición de variables, normalidad (eventualmente test de normalidad multivariado, ej: Shapiro Wilk multivariado)

-   Test de adecuación muestal (KMO)
.medium[
      - varía entre 0 y 1, contrasta si las correlaciones parciales entre las variables son pequeñas.

- valores pequeños (menores a 0.5) indican que los datos no serían adecuados para EFA, ya que las correlaciones entre pares de variables no pueden ser explicadas por otras variables
]

---
# Supuestos a evaluar (2)

-   Nivel de correlaciones de la matriz: test de esfericidad de Bartlett

-   se utiliza para evaluar la hipótesis que la matriz de
        correlaciones es una matriz identidad (diagonal 1 y bajo la
        diagonal 0)

- se busca significación (p `$<$` 0.05)ya que se espera que las
 variables estén correlacionadas

---
# Metodos de extracción

-   **Factores principales**

-   **Factores principales iterados**: estima comunalidades iterativamente,
    reemplazandolas en la matriz de correlaciones a partir de las
    comunalidades estimadas desde los factor loadings

-   **Maximum likelihood**: maximiza la posibilidad de que los parametros reproduzcan los datos observados
---
# Instrumentos y criterios de selección del número de factores

-   Criterio de Kaiser: eigenvalues mayores a 1

-   Scree plot (gráfico de sedimentación)

-   **Análisis paralelo**: comparación de eigenvalues de la muestra con eigenvalues de datos aleatorios. Nº apropiado de factores: numero de eigenvalues de los datos reales que son mayores que sus correspondientes eigenvalues de datos aleatorios

---
# Screeplot y análisis paralelo

---

-   **Ortogonal**: asume que los factores no se encuentran correlacionados

-   **Oblicua**: permite correlación entre factores
]

---
class: roja
# Resumen

- dimensiones subyacentes = factores

- análisis factorial
  - relación entre indicadores y dimensiones
  - estimación de número de dimensiones probables subyacentes a batería
  - rotación
  - obtención de puntajes factoriales (índices ponderados)

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class: inverse middle

## .red[Práctica análisis factorial]
[.yellow[encuestas-sociales.netlify.app/resource/05-resource.html]](https://encuestas-sociales.netlify.app//resource/05-resource.html)

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class: front

.pull-left[
# Metodología I
## **.yellow[Juan Carlos Castillo]**
## Magister Ciencias Sociales FACSO - UChile
## 1er Sem 2023 
## [.green[metod1-mcs.netlify.com]](https://metod1-mcs.netlify.com)
]

.pull-right[
.right[
 
## .yellow[Sesión 6: Índices y análisis factorial]
![:scale 70%](../../files/img/eval-hires.png)

]